001 上一章注释[001]

  【写在月日:,发布后发现上下标给我全滤了,我调整一下,过会儿再看】
  硬核程度:☆☆☆☆☆
  涉及领域:计算理论
  大标题:三种函数外加三种操作怎样解决所有可计算问题?为什么偏递归函数可以制造无限循环?
  可能是全网最不报菜名、最不装比的解释。
  以下开始:
  首先,什么是可计算?
  可计算就是指,有一个算法,我们把它交付给计算机后,计算机可以像执行一个函数一样,接受我们给它的输入,然后返回输出,这个输出就是我们想要的答案。
  为了方便描述,先行约定一下数学符号。
  假设我们有一个乘法器,叫做mult,它可以接受一对整数作为输入,把它们相乘后输出一个整数。
  比如,输入(,)输出
  输入(,)输出
  输入(,)输出
  这时,我们把这些输入数对叫做domain,输出的一个数叫做odomain。如果我们用Z来代表全体整数集,那么这个平平无奇的乘法器就可以用数学符号表示为:
  mult:Z^→Z
  中间的这个→表示这个mult是一个totalfuntion,也许可以称作“全函数”吧,意思是每一个domain里的输入,都能对应一个odomain里的输出。
  与全函数相对应的是,是“偏函数”。对于偏函数,对于有些输入,它并不能给出输出。比如一个除法器,当我们给它(,)时,它输出不了任何东西。这个除法器可以表示为:
  div:Z^—Z
  这里的单横线代表这是一个偏函数(其实应该用半箭头表示,但在这里打不出来)
  好了,定义好符号之后,就可以清爽地描述我们的三种基本函数:后继函数、零函数、投影函数。
  后继函数:su:N→N,su(x)=x+,N代表自然数集。我们给它,它输出;给它它输出。总之就是往上+.
  零函数:zero:Nn→N,zero()=。不管给它什么,它都输出.
  投影函数:projn:Nn→N,projin(x,...,xn)=xi。它接受长度为n的输入,输出第i个自然数。比如,proj(,)=。
  好了,盖大楼的砖块一共就这么三种,接下来把它们组合在一起就行了。
  我们定义一个叫“组合”的函数f,它的功能是把n个函数组合在一起:
  f:Nn—N
  具体的,如果每一个被组合的函数g都可以接受同一组参数(x,...,xm),那么组合n个g函数的操作可以被表示为:
  f·[g,...,gn]:Nm—N
  展开为:
  f·[g,...,gn](x,...,xm)=f(g(x,...,xm),...,gn(x,...,xm))
  举个栗子:
  我们构造一个函数one,one(x)=,即:不论给它什么输入,它都输出为,那么:
  one(x)=su()=su(zero(x))
  即:su·[zero]=one
  验证一下:
  su·[zero](x)=su(zero(x))=su()=
  su和zero两个基本函数组成了我们要的one,完美。
  如果栗子再复杂一点,我们想要一个加法器add,add(x,y)=x+y,怎么用那三种基本函数组合?
  也很简单,从具体输入入手:
  add(,)=su(add(,))=su(su(add(,)))=su(su())
  似乎只需要组合多个后继函数就可以了呢。
  当然,这里面有一个毛病,在于我们在没有定义好add的前提下,先入为主地认为add(,)=.
  所以我们不能认为自己就这么简单地构造了add,只能退而求其次地得到以下关系:
  add(x,y+)=su(add(x,y)),这个式子是十分严谨的。
  更具体地,要想算出add(x,y+),就要知道add(x,)=x,我们称add(x,)=x为基准条件;add(x,y+)=su(add(x,y))为递归条件。
  看起来就差临门一脚了,只要我们能用三种基本函数构造出add(x,)=x,就能得到add(x,y+),也就能构造出我们想要的加法器。
  也很显然,add(x,)=x=proj
  于是,我们的加法器有了。
  这种看起来很像左脚踩右脚登天的构造方式叫做“原始递归”,它的定义是这样的:
  基准函数f:Nn—N
  递归函数g:Nn+—N
  使用f和g的原始递归h=ρn(f,g):Nn+—N
  对于h:
  基准条件:h(x,...xn,)=f(x,...,xn)
  递归条件:h(x,...,xn,y+)=g(x,...,xn,y,h(x,...,xn,y))
  回到我们的加法器add:
  add:N→N
  add(x,y)=x+y=ρ(f,g)
  基准条件:add(x,)=f(x)=proj
  递归条件:add(x,y+)=g(x,y,add(x,y))=su(add(x,y)),g=su·[proj]
  add=ρ(proj,su·[proj])
  完美无瑕。
  类似地,乘法器mult=ρ(zero,add·[proj,proj])
  前继函数,减法器等等基本运算都可以据此定义,只需要proj,zero,su三种原始函数和组合·,原始递归ρ这两种基本操作。所有完全函数都可以据此构造。
  那么“偏函数”呢?
  构造偏函数还需要额外的一个操作:最小化。
  如果我们有一个函数f:N^n+—N(这里^代表上标,虽然不好看,但实在是敲得太麻烦没有耐心了),具体的f(a,...an,x),其中a,...an是固定参数,x是可变参数。
  那么最小化操作为:μ^nf:N^n—N它会找到给它输入的n个参数里,最小的一个,并输出
  比如f(,,,,,)=
  如果遇到重复参数,那么就输出第一个最小的。
  比如f(,,,,,)=
  假设我们有一个投影函数长这样:
  proj:N—N(proj中的是上标,是下标,下同,写不动摆烂了)
  那么μ^proj:N—N
  举个栗子:
  假如我们给proj弄一个最小化操作:μ^proj(),其中是固定参数。
  如果我们穷举一下可变参数,就会发现:
  proj(,)=
  proj(,)=
  我们永远也拿不到,也就不存在最小化。也就是说,对于μ^proj而言,并不是每一个输入都对应一个输出,所以应用最小化操作,我们成功地构建了一个偏函数。
  加减乘三种操作都在上文构建过了,现在就只剩下一个除了。除法div需要用最小化操作来构建。
  假设,我们收到两参数a和b,想求a/b,那么其中存在如下关系:
  a=q×b+r,其中≤r<b
  我们想要的就是满足式子q×b≤a的最大的q,这等同于满足(q+)×b>a,于是带余除法被转化为了一个最小化问题:
  找到最小的q使其满足(q+)×b>a
  也就是构造一个函数f:N^—N
  f(a,b,q)=如果(q+)b≤a,=如果(q+)b>a
  f(a,b,q)=lessthanequal(mult(su(q),b),a)
  f=lessthaneual·[mult·[su·[proj],proj],proj]
  其中lessthanequal=iszero·sub
  iszero=sub·[su·zero,proj]
  sub是减法器
  对f进行最小化操作即可得到我们想要的结果。
  验证一下:
  f(,,)=lessthanequal(mult(,),)=不等于,所以不是输出。
  f(,,)=lessthanequal(mult(,),)=,最小,所以是输出。
  div(,)=//=没错,十分完美。
  如果我们想计算一下//:
  f(,,)=lessthanequal(mult(,),)=不等于,所以不是输出。
  f(,,)=lessthanequal(mult(,),)=不等于,所以不是输出。
  无论我们给f(,,x)传入什么x,都找不到最小的x,所以div(,)=//无解,符合现实。
  如果把最小化操作运用在原始递归函数上,得到的新函数就叫做偏递归函数。
  好了,现在加减乘除我们都有了,只要是可计算的算法,我们都能执行。
  至于无限循环怎么制造出来,从μ^proj()和div的栗子都可以看出来,如果最小化操作找不到最小值,就永远不会给出输出,这相当于while语句的功能。
  ——————————————————
  下一章是正常内容

上一章目录+书签下一章